من أساسيات الرياضيات إلى علم الدلالة: فريجه

 من أساسيات الرياضيات إلى علم الدلالة: فريجه

خلفية تاريخية

أصبح ظهور الفلسفة التحليلية ممكناً في المقام الأول من خلال نقد الفهم الكانطي للميتافيزيقا الذي ساد  القرن التاسع عشر. في كتابه "نقد العقل الخالص"، الذي نُشر عام 1781، تساءل كانط عما إذا كانت الميتافيزيقيا ممكنة، وسعى للحصول على إجابة لسؤال عما يمكن للعقل أن يعرفه أو لا يستطيع أن يعرفه داخل حدوده. بمعنى ما، حاول كانط رسم حدود داخل العقل. اعتقد كانط أن نوعًا من الميتافيزيقيا كان ممكنًا ضمن حدود العقل. في مركز الميتافيزيقيا الكانطية كانت الأحكافيم التي أطلق عليها كانط الاصطناعية بداهة. وفقًا لكانط، كانت أحكام الرياضيات والأحكام التي تقوم عليها الفيزياء النظرية عبارة عن أحكام مسبقة تركيبية مع ضرورة عالمية وصلاحية موضوعية. يمكن اعتبار عملية تحديد موقع اللغة ومنطق اللغة في بؤرة الفلسفة من خلال نقد الميتافيزيقيا الكانطية بمثابة العملية التي ولدت فيها الفلسفة التحليلية. بطريقة ما، كان القضاء على الميتافيزيقيا كما دافع كانط بعد القضاء على نوع من الميتافيزيقيا من خلال نقد كانط حاسمًا لتطوير الفلسفة التحليلية. لفهم هذا الإقصاء في الميتافيزيقا، من الضروري النظر إلى التغيرات في الرياضيات والعلوم في القرنين التاسع عشر والعشرين. يعد اكتشاف الأشكال الهندسية غير الإقليدية ونظرية أينشتاين الخاصة والعامة للنسبية من أهم هذه التطورات. تطور آخر في عمل غوتلوب فريجه أنه تبين أنه يمكن اختزال الرياضيات إلى المنطق وعلى هذا النحو، فإن مقترحات الرياضيات تحليلية. يمكن اعتبارها العملية التي ولدت فيها الفلسفة التحليلية. بطريقة ما، كان القضاء على الميتافيزيقيا كما دافع كانط بعد القضاء على نوع من الميتافيزيقيا من خلال نقد كانط حاسمًا لتطوير الفلسفة التحليلية. لفهم هذا الإقصاء في الميتافيزيقا، من الضروري النظر إلى التغيرات في الرياضيات والعلوم في القرنين التاسع عشر والعشرين. يعد اكتشاف الأشكال الهندسية غير الإقليدية ونظرية أينشتاين الخاصة والعامة للنسبية من أهم هذه التطورات. تطور آخر في عمل غوتلوب فريجه أنه تبين أنه يمكن اختزال الرياضيات إلى المنطق وعلى هذا النحو، فإن مقترحات الرياضيات تحليلية. يمكن اعتبارها العملية التي ولدت فيها الفلسفة التحليلية. بمعنى ما، كان القضاء على الميتافيزيقيا كما دافع كانط بعد القضاء على نوع من الميتافيزيقيا من خلال نقد كانط حاسمًا لتطوير الفلسفة التحليلية. لفهم هذا الإقصاء في الميتافيزيقا، من الضروري النظر إلى التغيرات في الرياضيات والعلوم في القرنين التاسع عشر والعشرين. يعد اكتشاف الأشكال الهندسية غير الإقليدية ونظرية أينشتاين الخاصة والعامة للنسبية من أهم هذه التطورات. تطور آخر في عمل غوتلوب فريجه أنه تبين أن الرياضيات يمكن اختزالها إلى المنطق وعلى هذا النحو، فإن مقترحات الرياضيات تحليلية. لقد كانت حاسمة لتطوير الفلسفة التحليلية. 

 

تصنيف كانط للأحكام

تحدث كانط عن تصنيف الأحكام وليس الافتراضات. وفقًا لكانط، الحكم هو فعل القدرة على التفكير. في عملية تطوير فلسفة اللغة، تم تطبيق تصنيف كانط للأحكام على المقترحات. قام كانط بتصنيفه في بعدين مختلفين. البعد الأول هو نظرية المعرفة. يمكن رؤية البعد الثاني فيما يتعلق بدلالات الألفاظ. وفقًا للبعد الأول، إذا لم تكن هناك حاجة إلى الخبرة التجريبية لتقرير مدى صحة الحكم، فإن هذا الحكم مسبق؛ إذا كانت هناك حاجة، تسمى لاحقة. وفقًا للبعد الثاني، إذا تم تضمين المفهوم الموجود في موضع المسند في المفهوم الذي هو الموضوع، فإن الحكم المعني يكون تحليليًا؛ إذا لم يتم تضمينه، فإنه يسمى الاصطناعية. وهكذا، يتم التوصل إلى أربعة أنواع من الأحكام. لقد حددت أربعة أنواع مختلفة من الاختصاص القضائي.لا نحتاج إلى خبرة لتبرير حكم تحليلي. وبالتالي، من وجهة نظر معرفية، فإن هذا الحكم هو بديهي. وفقًا لكانط، فإن حقيقة أن أي حكم يمكن أن يكون تحليليًا وبداهة تعتمد على كونه حكمًا باسمه، أي أنه يمكن فهمه من خلال عمل قضائي.

ما هو مثير للاهتمام وجديد في فلسفة كانط المتعالية هو أحكام تركيبية وبدائية. وفقًا لكانط، تتمتع الأحكام التحليلية بميزة تفسيرية للمعلومات الواردة في المفهوم الذي لدينا. الأحكام التركيبية توسع معرفتنا. تعمل الأحكام المسبقة التركيبية على توسيع نطاق معرفتنا ويمكن أن تكون صحيحة دون الحاجة إلى الخبرة الحسية.

وفقًا لكانط، فإن أحكام الرياضيات في المقام الأول اصطناعية وبداهة. لكي تكون الأحكام اللاحقة التركيبية صحيحة، هناك حاجة لشيء ثالث، كائن موجود في التجربة، يربط المفاهيم في موقع الموضوع والمسند. خلال حياة كانط، تم قبول البديهيات الهندسية لـ Euklides. يقبل كانط الأحكام الهندسية، أي تصرفات Euklides، كأمر بديهي. عندما تم اكتشاف الأشكال الهندسية غير الإقليدية في النصف الأول من القرن التاسع عشر، اهتزت نظرية كانط أيضًا.

الهندسة غير الإقليدية

البديهيات الخمس لإقليدس هي كما يلي؛

- يمكن رسم خط من نقطة إلى أخرى (أو يمر الخط بنقطتين).

- يمكن رسم مقطع محدود ومستمر على خط مستقيم (أو الخط المستمر بين نقطتين محدود).

- يمكن رسم دائرة بأخذ نقطة معينة كمركز وأي طول كنصف قطر (أو الموقع الهندسي للنقاط على مسافة متساوية من نقطة هو دائرة).

- جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض.

- عندما يتقاطع خطان بخط مستقيم، إذا كان مجموع الزاويتين الداخليتين المتكونتين على جانب واحد من الحقيبة أقل من 180 درجة، فإن هذين الخطين يتقاطعان في الجانب حيث توجد هاتان الزاويتان الأقل من 180 درجة.

لا تعتقد المقاييس الهندسية اللاحقة أن البديهية الخامسة صحيحة. كتب Proclus تعليقًا على العناصر وتضمن جهودًا لاشتقاق البديهية الخامسة من الأربعة الأولى. اقترح البديهية التالية المكافئة للبديهية الخامسة: بالنظر إلى خط ونقطة ليست على ذلك الخط، يمكن رسم خط واحد فقط يمر عبر تلك النقطة ويكون موازيًا للخط. كان هذا يسمى بديهية Playfair. في عام 1697، طور جيرولومو ساكيري بديهية ترفض الافتراض الخامس. ووفقا له، على افتراض أن هناك نقطة على مسافة لا نهائية على متن الطائرة؛ كان افتراض الزاوية الحادة يسبب تناقضًا. في عام 1766، أظهر لامبرت أنه في ظل افتراض الزاوية الحادة، حيث تقل مساحة المثلث، يزداد مجموع الزوايا الداخلية. دليل Legendre هو تماما مثل دليل Saccheri، كان يقوم على افتراض أن الخطوط المستقيمة لا نهائية. في مواجهة كل هذه الجهود غير المجدية، وصف دالمبرت مشاكل البديهية الموازية بأنها مشكلة فاضحة للهندسة الأساسية. بدأ جاوس العمل على البديهية الموازية منذ عام 1792. كما عمل فاركاس بولياي وابنه يانوس بولياي على البديهية الموازية. كانت القفزة التي قام بها يانوس بولياي هي إمكانية وجود هندسة جديدة. عمل عالم الرياضيات الروسي Lobachevsky على نفس الموضوع وغير البديهية الموازية لـ Euklides على النحو التالي: من نقطة ليست على خط، يمكن رسم خطين متوازيين لهذا الخط. أظهر ريمان أن الأشكال الهندسية غير الإقليدية كانت متسقة نسبيًا: لقد جادل بأن الأشكال الهندسية غير الإقليدية متسقة فقط إذا كانت الهندسة الإقليدية متسقة. كلاين، في عام 1871 بواسطة ريمان، قدم نموذجًا لجميع الأشكال الهندسية غير الإقليدية، بما في ذلك الهندسة غير الإقليدية. أظهر كلاين أن هناك ثلاثة أشكال هندسية مختلفة: في هندسة Bolyai، Lobachevsky، تحتوي الخطوط المستقيمة على نقطتين متباعدتين بشكل لا نهائي. لا توجد مثل هذه النقطة على مسافة لا نهائية في هندسة ريمان. في هندسة إقليدس، توجد نقطتان متداخلتان على مسافة لا نهائية لكل خط. أثارت المسألة المثيرة للجدل في البديهية الخامسة قضية أنه، كما جادل كانط، إذا كانت بديهيات الهندسة لها ضرورة عالمية وواقع موضوعي، فيجب أن تكون جميعها ضرورية وموضوعية صالحة في نفس الوقت. لا يمكن أن يكون الافتراضان المتناقضان صحيحين بالضرورة وموضوعيًا في وقت واحد وفي نفس الوقت. تحدد الهندسة الإقليدية شكل المظهر، وبالتالي، جادلوا بأن لها صلاحية موضوعية. ثانيًا، يُقال أن الأشكال الهندسية غير الإقليدية قد لا تكون متسقة، أي أنه يمكن إثبات أنها تحتوي على تناقضات بمرور الوقت. أدى دليل ريمان على الاتساق النسبي إلى القضاء على النقد الثاني من خلال الكشف عن أن الهندسة الإقليدية متسقة مثل هندسة إقليدس. تم تحديد هذا على مرحلتين. تم العثور على نماذج من الأشكال الهندسية غير الإقليدية وقد لوحظ أن هذه الأشكال الهندسية لها صلاحية موضوعية في المجال الرياضي. المرحلة الثانية حدثت مع نظرية النسبية العامة لأينشتاين. ذكر أينشتاين أن الهندسة غير الإقليدية أكثر ملاءمة في وصف قوانين الفيزياء. نتيجة كل هذه التطورات، فإن بديهيات الهندسة، أصبحت فكرة وجود أحكام مسبقة تركيبية غير مقبولة. نتيجة لدراسات هيلبرت وبوانكاريه؛ لقد تم استنتاج أن البديهيات في الهندسة يجب أن تكون تحليلية لأنها نهائية. في فكره الخاص، استخدم كانط الأفكار الأفلاطونية كوسيلة لاكتساب المعرفة بهذه الأفكار. في قلب نقد كانط لإمكانية الميتافيزيقيا يوجد نقد للأفلاطونية. اشارةيقصد بها مساحة أو واجهة نتعامل فيها مباشرة مع الأشياء. في حالة عدم وجود الأشياء المعنية في المجال الحسي، تأخذ الرؤية المعنية لقب فكري. أثناء محاولته تبرير الأحكام الرياضية، استخدم كانط المعرفة البصيرة بدلاً من المعرفة المفاهيمية وجادل بأن الرياضيات تستند إلى رؤية خالصة. وبالتالي، تستند الأحكام المسبقة التركيبية على المعرفة المباشرة للأشياء التي تم إنشاؤها في رؤية صافية. تكشف التطورات أن بديهيات الهندسة هي تعريفات ضمنية. هذا مهم للغاية من ناحيتين: هذا النهج له أهمية كبيرة من حيث اختزال الرياضيات إلى المنهج المنطقي. إن أهم مساهمة في عملية اختزال الحساب إلى المنطق اللغوي هي بلا شك مساهمة فريجه.

فريدريش لودفيج جوتلوب فريجه (1848-1925) 

فريجه عالم رياضيات حوّل تركيز عمله إلى المنطق والفلسفة ذات الصلة. يُعرف أيضًا باسم مؤسس الفلسفة التحليلية. والغرض الرئيسي منه هو وضع الحساب على أساس متين من خلال اختزاله في المنطق. يتضمن مشروع فيرج لتقليل الحساب إلى المنطق كلاً من تعريف الأرقام واحدًا تلو الآخر والتقاط ترتيب الأرقام. حاول إظهار أن مفهوم التسلسل يمكن اختزاله في مفهوم الاستنتاج المنطقي. كان فريجه يحاول إظهار أن الرياضيات تقوم على المنطق وأنها تتطور من الداخل. من أجل إثبات ذلك، كان لا بد من أخذ المنطق إلى أبعد مما كان عليه في ذلك الوقت. المنطق الكلاسيكي على الرغم من أنه أحرز تقدمًا في ثوابت المنطق، إلا أن التعامل مع المقترحات بما في ذلك عبارات مثل الكل وبعضها لم يكن مفصلاً بدرجة كافية. اعتنى منطق التكميم الذي طوره فريجه بكل هذه المشكلات من الجذر ومثل بداية جديدة في تطوير المنطق الحديث. ضمن المنطق الذي طوره فيرج، يمكن تمثيل التعبيرات الرياضية الأكثر تعقيدًا، ويمكن التعامل مع البراهين بأدوات منطقية بطريقة لا تسمح لأي عنصر مرئي بالتسرب بمعنى تعبيره. تستند جميع التطورات التي تحققت في مجال المنطق في القرن العشرين إلى منطقفريجه الكمي. الأعمال الشهيرة لبرتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد، Principia Mathematica، والتي يتعاملون فيها مع المفاهيم المنطقية ويضعونها بشكل رسمي، والنظرية الوصفية المحددة لبرتراند راسل، نظريات عدم الاكتمال لكورت جودل، والتي تعد نقطة تحول في تطوير المنطق الرياضي ونظرية حساب التفاضل والتكامل، ونظرية ألفريد تارسكي للحقيقة، والتي تقوم على فصل لغة الكائن واللغة المعدنية، تستند إلى المنطق الذي طوره فريجه. هدف فيرج في سياق أوسع هو إظهار أن الحساب هو فرع فرعي من المنطق. يمكن إثبات الافتراضات الصحيحة للحساب على أنها نظريات منطقية وضمن إمكانيات النظام المنطقي. وفقًا لـ فيرج، فإن تحليل الافتراضات العددية يتعلق بكيفية التعامل مع المفاهيم في المنطق. يستخدم وظائف لهذا. على سبيل المثال، 1 + 3 = 4 هو اقتراح صحيح لوظيفة الجمع. فريجه، يتعامل مع المفاهيم من حيث الافتراضات الصريحة تمامًا كما في 1 + 3 = 4 معادلات ويطلق عليها رموزًا غير مكتملة التكميم، وهو طريقة لإبقاء الافتراضات مغلقة، هو أهم اختراع لـ فيرج ويمكن التعبير عنه على النحو التالي: التكميم هو عملية تحويل الافتراضات المفتوحة، أي تحويل الافتراضات المفتوحة إلى افتراضات ذات قيمة حقيقية. أتيحت الفرصة لـ فيرج لتمثيل المقترحات الرياضية المعقدة والاستدلالات المنطقية التي تحتوي على هذه الافتراضات ضمن منطق التكميم الذي طوره. يكشف فريجه عن الأعداد الحقيقية للأعداد الطبيعية كأرقام محدودة في عمله. تتضمن المرحلة الأخيرة من مشروع فيرج اشتقاق قوانين الحساب من البديهيات التي تم قبولها على أنها منطقية. بينما صنع فريجه هذه الاشتقاقات، طبق قانونًا أسماه القانون الأساسي الخامس. هذا القانون: إن حقول القيمة للدالة f (x) ووظيفة أخرى g (x) هي نفسها إذا وفقط إذا كانت f (x) = g (x) لكل x. يمكن تلخيصها على أنها. قبل فريجه هذا القانون باعتباره منطقيًا وصريحًا وحاول إظهار أنه من هذا القانون يمكن اشتقاق مبدأ هيوم للتشابه والبديهيات الحسابية بينو. يشار اليوم إلى اشتقاق البديهيات الحسابية من القانون الأساسي الخامس باسم نظرية فريجه. يُظهر راسل هذا كنقد مفاده أن مجموعة من المجموعات التي ليست أعضاء في حد ذاتها يمكن تعريفها داخل نظام فيرج، لكن مثل هذه المجموعة يمكن أن تكون عنصرًا ولا يمكن أن تكون عنصرًا في حد ذاتها، لذلك ينشأ تناقض. فريجه يصلح هذا لاحقًا. إن حقول القيمة للدالة f (x) والدالة الأخرى g (x) هي نفسها إذا وفقط إذا كانت f (x) = g (x) لكل x. يمكن تلخيصها على أنها. قبل فريجه هذا القانون باعتباره منطقيًا وصريحًا وحاول إظهار أنه من هذا القانون يمكن اشتقاق مبدأ هيوم للتشابه والبديهيات الحسابية بينو. يشار اليوم إلى اشتقاق البديهيات الحسابية من القانون الأساسي الخامس باسم نظرية فريجه. يُظهر راسل هذا كنقد مفاده أن مجموعة من المجموعات التي ليست أعضاء في حد ذاتها يمكن تعريفها داخل نظام فريجه، لكن مثل هذه المجموعة يمكن أن تكون عنصرًا ولا يمكن أن تكون عنصرًا في حد ذاتها، لذلك ينشأ تناقض. فريجه يصلح هذا لاحقًا. 

يعتبر فيرج مؤسس الفلسفة التحليلية. إذا نظرنا إلى الخصائص الأساسية للفلسفة التحليلية، فهذه هي: تركيز اللغة ومنطق اللغة؛ القضاء على الميتافيزيقا. لتنقية الخطاب الفلسفي من الغموض والارتباك. فريجه هو مؤسس المنطق الحديث بمفهومه في الكتابة ونظرية التكميم. على هذا النحو، فإن تأثيره على الفلسفة التحليلية لا جدال فيه. الفلسفة التحليلية، يمكن حل القضايا المهمة من الناحية الفلسفية في حدود اللغة ومنطق اللغة؛ إنه يعني التفكير في أنه يمكن جعله مفهومًا ويتم حله بهذه الطريقة. في هذا الصدد، تعتبر دراسة فريجه حول طبيعة أرقام الإشارة حيوية للفلسفة التحليلية.

للتلخيص، طالما أن الرؤية والفلسفة القائمة على الرؤية هي السائدة، فمن غير الوارد وضع اللغة ومنطق اللغة في مركز الفلسفة براحة البال.

من ناحية أخرى، يجب أن نتذكر أن كل مفكر تقريبًا يريد وضع الميتافيزيقي في مركز الفلسفة يشير إلى طبيعة الرياضيات في جزء من برهانه. عندما يريد أفلاطون أن يتحدث عن معرفة الأفكار، يختار أولاً أمثلته من المعرفة الرياضية والأشياء الرياضية التي تجعل هذه المعرفة ممكنة. وبالمثل، على الرغم من معارضة كانط للميتافيزيقيا الأفلاطونية، فإنه يضع الأشياء الرياضية في مركز الميتافيزيقيا المتعالية ومكان بنائها، الرؤية النقية. ومع ذلك، فإن الرسالة الأساسية لمشروع فيرج هي أن الرقم ليس كائنًا في هذه المعاني، ولكنه مفهوم يمكن تعريفه في منطق المسندات التربيعية. عزو الموضوعية إلى الرقم بطريقة تفتح الباب للميتافيزيقا يرجع إلى سوء فهم منطق اللغة. علم الحساب، إنه يقوم على المنطق والقضايا الحسابية هي افتراضات تحليلية. من وجهة النظر هذه، من المفهوم أن مشروع فريجه شكل نقطة البداية للفلسفة التحليلية. من ناحية أخرى، لم يؤسس فريجه فقط المنطق الحديث في عملية تحقيق مشروعه الحسابي. لقد نجح في إنشاء المفاهيم الأساسية لفلسفة اللغة الحالية في دراساته الجانبية. ليس هدف فريجه تطوير نظرية شاملة للمعنى. دخل في قضايا فلسفة اللغة إلى الحد الذي يعنيه مشروعه الرئيسي، لكن عمله في هذه المجالات كان مهمًا للغاية من حيث تطوير فلسفة اللغة. ربما كان أهم تأثير لـ فيرج في تطوير فلسفة اللغة هو التمييز بين Sinn و Bedeutung. فريجه، المعنى والمرجع، قدمها على أنها جانبين مختلفين حاسمين في طريقة توجيه البيان. تحدث فريجه عن الإشارة إلى أسماء العلم في المرحلة الأولى. يشكل الكائن الذي يحمل الاسم المعني نفسه إشارة إلى الاسم. ومع ذلك، فقد استخدم لاحقًا المرجع لتعبيرات أخرى غير الاسم.

خلاصة

لقد كان التوتر الذي تجسد في مناهج هؤلاء الفلاسفة موجودًا منذ البداية داخل التقليد التحليلي، حيث تم القضاء على الميتافيزيقيا، وتركز المناقشات حول طبيعة وطريقة وحدود العلم في المركز، وفوق كل شيء، يتم وضع اللغة والمعنى. في قلب الفلسفة. في قلب فهم فيرج للواقع توجد أفكار مستقلة عن معتقداتنا وقناعاتنا. يتم التعبير عن هذه الأفكار بلغة مع افتراضات. هذه الافتراضات لها شكل منطقي، ويمكن تقسيم هذا الشكل بشكل موضوعي إلى عناصره، أي حلها.

في المقابل، بينما يؤكد بيرس على حقيقة مستقلة عنا، يكشف عن هذه الحقيقة باعتبارها مثالية بالنسبة لمعتقداتنا ومعتقداتنا. في الأساس، لا يختلف المنطق أو الرياضيات عن العلوم الأخرى.